פתרוןגליוןעבודהמס. 5 בפיסיקה 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "פתרוןגליוןעבודהמס. 5 בפיסיקה 2"

Πελάγιος Πρωτονοτάριος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 פתרוןגליוןעבודהמס. 5 בפיסיקה הנדסת תעשיה וניהול, אביב תשע ו לקריאה: פרק וכן פרק 37 באתר 1. מסת כדור הארץ היא M ורדיוסו R. יורים מפני כדור הארץ קליע בניצב לפני כדור הארץ במהירות התחלתית.v (א) לאיזה גובה h יגיע? (ב) כעבור כמה זמן יגיע לגובה זה? בטא את התוצאה במונחים של h. (ג) מה התוצאות של א ו ב כאשר המהירות היא קטנה? קבל אותן באמצעות קרוב של התוצאות שיש לך כבר ובטא אותן באמצעות תאוצת הכובד על פני כדור הארץ g והגובה h. במידת הצורך תוכל להשתמש בנוסחה האינטגרלית dx (a/x) b = a bx arcsin b3/ a a x(a bx) b mv GMm R = GMm R+h = (א) לפי שימור האנרגיה, R GM v R = R+h GM = h = v R GM v R (ב) כדילהקלעלהחישוב,ננקוטבדרךהבאה: כאשרמרחקהקליעממרכזכדורהארץהואr,המהירותהיא mv GMm r = GMm R+h = v = GM r GM R+h הזמןשנדרשלעבורמרחקקצרdr הוא dt = dr v = dr 1 GM 1/r 1/(R+h) = dr r(r+h) GM R+h r

2 t = 1 GM R+h R r(r+h) R+h r dr והזמןהנדרשלעבוראתכלהדרךהוא כדילחשבאתהאינטגרלנערוךאתההצבההבאה: x = R+h r = dr = dx ונקבל R+h h R+h x t = dx GM 0 x בשלבהבאנערוךהצבהחדשה: x = u = dx = udu ולכן R+h h t = R+h u du GM 0 a x dx = x a x ( R+h u R+h u t = GM t = R+h GM כדי לחשב אינטגרל זה נסתייע בנוסחה האינטגרלית + R+h + a arcsin x a arc sin ) u h R+h h hr+(r+h)arcsin R+h 0 ונקבל דהיינו h = v R GM v R v R GM = v g (ג) כאשרהמהירותהיאקטנה,נקבלמ א כדילקרבאתבנשתמשבקרוביםהבאים: הפונקציה arcsin שלמשתנהקטןהיאהמשתנהעצמו. כמו כן במקוםR+h הצבנוR כיh הרבהיותרקטןממנו. R+h t = h hr+(r+h)arcsin GM R+h R+h h hr+(r+h) GM R+h R h R h hr+r h = GM R GM = () g (1) t = v g אםנציבאת 1 ב נקבל

3 3. גוף בעל מסה m נע בהשפעת כוח הכבידה של גוף בעל מסה גדולה הרבה יותר, M שניתן להניח שהוא עומד במקומו. הוא סובב אותו במסלול מעגלי ברדיוס r. חשב את האנרגיה הקינטית שלו, את האנרגיה הפוטנציאלית והראה כי האנרגיה הכוללת שוה בערכה לאנרגיה הקינטית, אבל בסימן שלילי. E = GMm r mv r mv = GMm r = GMm r GMm ולכןהאנרגיההכוללתהיא r GMm r = GMm r ובכן,משוואת התנועה היא וממנהנובע האנרגיה הפוטנציאלית היא כפי שנתבקשנו להראות.

4 4 3. בקדקדי המעוין שבשרטוט נמצאים המטענים הנקודתיים הבאים:.Q A = 5µC Q B = 4µC Q C = 10µC Q D = 6µC B C A ס מ D (א) חשב את גודל השדה החשמלי בנקודת מפגש האלכסונים. מה הזוית בין השדה לבין האלכסון הראשי? (ב) מצא את הפוטנציאל באותה נקודה. (ג) חלקיק בעל מסה של גרם נמצא בנקודה זו. מטענו µc. הוא מוחזק במנוחה. ברגע מסוים הוא משתחרר. מה תהיה מהירותו כשיגיע למרחק גדול ביותר? (א) נקודתמפתחכאןהיאשהאלכסוניםשלמעויןניצביםזהלזהנחשבאתתרומתכלמטען: Q A נמצאבמרחקשל E A = ( ) = V/m 3 3 =.6cos30 השדהשהואיוצרהוא המטען C נמצא באותו מרחק מן הצד השני וכפול בגדלו. לכן גם השדה שהוא יוצר שוה ובמגמה הפוכה. לכןשנימטעניםאלויחדיוצריםשדהשלV/m במגמהכלפישמאלה למטה. במהשנוגעלשני המטעניםהאחרים Q B רחוק 3 ס ממןהנקודהולכןהשדהשהואיוצר E B = (3 10 ) = V/m

5 5 Q D רחוק מרחק זהה, הוא גדול פי 1.5 ויוצר שדה באותה מגמה. השדה השקול של שני אלו הוא לכן E = V/m במגמהימינהלמטה. השדההשקולהואלכן ( ) 10 7 = V/m הזויתביחסלאלכסוןהראשימקיימת 6 = 10/1.66 = tgα ולכןערכההוא.81 הכווןהואכלפימטה. (ב) הפוטנציאל הוא סכום אלגברי של ארבעת הפוטנציאלים. הפוטנציאל שיוצר A הוא ϕ A = = V תרומתושל C כפולהוכךשניהםיחדיוצריםפוטנציאלשל וולט. חלקיקB יוצרפוטנציאלשל ϕ B = = V ותרומתושלV D כלהארבעהיחדתורמים 10 6 וולט. (ג) האנרגיההפוטנציאליתשלחלקיקזההיא = 4J כשכלהאנרגיההזותהפוךלאנרגיה 1 63 מ ש = v mv = 4 = 0.001v = 4 = קינטית נקבל

6 6 4. פרוטון, שמטענו e+ ומסתו m, p מואץ ממנוחה בשדה חשמלי מסוים ומגיע למהירות v. אם במקום הפרוטון היו מאיצים באותם התנאים חלקיק α שמטענו e+ ומסתו 4m, p מצא את היחס בין המהירות הסופית אליה היה מגיע חלקיק ה α, v, α לבין v. (השתמש בשימור אנרגיה) האנרגיה הפוטנציאלית שחלקיק α יפסיד היא האנרגיה הקינטית שהוא יקבל. מאחר שהואץ באותו הפרש פוטנציאלים, האנרגיה הפוטנציאלית שהפסיד היא כפולה וכך גם האנרגיה הקינטית שקיבל. לכן 4mv = mv = v = v

7 7 5. נתונה טבעת ברדיוס R שעליה מטען Q שמחולק על ארכה באופן אחיד. על ציר הטבעת, במרחק x מן המרכז, נמצא מטען נקודתי q. (א) מה הכוח שפועל עליו? (ב) מה העבודה שיש להשקיע בהעברת המטען q ממקומו הנוכחי למרכז הטבעת? 6 Q R? - kqx כברמצאנוכישדהשלטבעתכזולאורךהצירהוא. הכחשפועלעלמטעןנקודתי q שנמצאשםהוא (x +R ) 3/ 0 x. לכןהעבודהשישלעשותבהעברתולמרכזהטבעתהיא kqqx dx (x +R ) = kqq 3/ x +R 0 x = kqq R kqq x +R kqqx (x +R ) 3/

8 8 6. מוט ישר שארכו a טעון אחידות במטען כולל Q. המוט מונח לאורך ציר x, כאשר מרכזו מונח על y ראשית הצירים. Q x (א) מצא את הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי (0,x) שעל ציר x מחוץ למוט (a x ). > (ב) בעזרת פונקצית הפוטנציאל, מצא את השדה החשמלי בנקודה כלשהי (0,x) שעל ציר x מחוץ למוט. נסמןב λ אתצפיפותהמטען. נקבלכיקטעבקואורדינטה x ובאורך dx יוצרפוטנציאלשל dφ = 1 4πǫ λdx x x φ = λ a dx = λ ln x+a 4πǫ a x x 4πǫ x a = Q x+a ln 8πǫ a x a הפוטנציאל שיוצר כל המוט הוא E = dφ dx = Q 4πǫ (x a ) השדה הוא

9 9 7. נתונה צפיפות מטען כדורית ρ(r) = 0 r < R 1 ρ(r) = ρ R 1 < r < R ρ(r) = 0 r > R (א) חשב את השדה בכל שלשת האיזורים (ב) חשב את הפוטנציאל בכולם (הפוטנציאל באינסוף אפס) (ג) חשב את גבולות התוצאות של א ו ב באיזור הפנימי ובאיזור החיצוני כאשר הקליפה נעשית דקה מאד והצפיפות נעשית משטחית, דהיינו R 1 R R R ρ(r R 1 ) σ (א) השדהבאיזורהפנימי: אפס. השדהבאיזורהאמצעי: נחלקאתהשכבהלקליפות. קליפהברדיוס r ועובי dr תורמתאךורקאםr r. < כלמטענהנראהכאלוהואבמרכז. השדההוא E = 1 r ρ 4πǫ r 4πr dr R 1 E = ρ (r 3 R 3 1 ) 3ǫ r E = ρ (R 3 R 3 1) 3ǫ r וזהשוה באיזורהחיצוניהכלתורםומקבלים ישלשיםלבכיהשדהמשתנהברציפותבמעברמתחוםלתחום. (ב) הפוטנציאל באיזור החיצוני (שבו ממילא הכל נראה כאלו הוא במרכז)הוא φ = ρ (R 3 R3 1 ) 3ǫ r

10 10 φ = ρ (R 3 R3 1 ) 3ǫ R r R ( ρ r 3ǫ ρ R 3 1 3ǫ r ) dr φ = ρ (R 3 R3 1 ) ρ (r R ) ρ R 3 ( 1 1 3ǫ R 6ǫ 3ǫ r R) 1 באיזור האמצעי דהיינו באיזורשבו r < R 1 הפוטנציאלהואכמוב.r = R 1 לכןהפוטנציאלהוא φ = ρ (R 3 R3 1 ) 3ǫ R + ρ (R R 1 ) 6ǫ ρ R 1 (R R 1 ) 3ǫ R (ג) כאשר הקליפה דקה מאד: נשתמש בקשרים אלגבריים: ρ (R R 1 ) σ ρ (R R 1) = ρ (R R 1 )(R +R 1 ) σr ρ (R 3 R3 1 ) = ρ (R R 1 )(R +R 1R +R 1 ) 3σR E = σr ǫ r = kq r φ = σr ǫ r = kq r בהתאם,השדה באיזור החיצוני הוא הפוטנציאלשםהוא השדהבאיזורהפנימיהוא 0. הפוטנציאלשםהוא φ = kq R

11 11 8. מטען Q מפוזר אחידות על חוט מבודד המכופף בצורה שבציור (חצי מעגל ברדיוס R ושני קטעים באורך R משני צדדיו). R R R Q חשב את העבודה הדרושה להבאת מטען q מאינסוף אל מרכז המעגל. אם נסמן, לשם קיצור, את צפיפות המטען ליחידת אורך ב λ, אזי הפוטנציאל במרכז המעגל שיוצר קטע ישר dφ = 1 λdx 4πǫ x בקואורדינטה x ובאורך dx הוא וכלהחלקהישרהימנייחדיוצרפוטנציאלשל φ = λ R dx 4πǫ R x = λ ln 4πǫ החלק הישר השמאלי יוצר פוטנציאל דומה. החלק המעגלי יוצר פוטנציאל של 1 πrλ 4πǫ R = λ 4ǫ העבודהשישלעשותכדילהעביריחידתמטעןממרחקאינסופילמרכזהמעגלהיאלכן λ + λln 4ǫ 4πǫ W = qλ 4ǫ + qλln 4πǫ (π +ln)qq 4πǫ (+π)r העבודהשישלעשותבהעברתמטעןq היאלכן λ = Q מקבלים בהתחשבבעובדהש R+πR

12 1 9. גליל ישר באורך L ורדיוס a טעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ρ. הגליל מוקף בקליפה גלילית דקה, משותפת ציר ובאותו אורך, בעלת רדיוס b וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה σ (וכמובן, L b נתון.(b > a b a (א) מצא את השדה החשמלי בכל המרחב (בתוך הגליל המלא, בין הגליל לקליפה, ומחוץ לקליפה). (ב) מצא את הפרש הפוטנציאלים בין נקודה קבועה במרחק r > b לנקודה כלשהי במרחק r מן הציר. התיחס בנפרד למקרים a < r < b,r,r < a ו b.l r > (ג) איזה תנאי צריכים הנתונים לקיים על מנת שהפוטנציאל מחוץ לקליפה יתאפס? האם גם השדה מתאפס אז? E = σr ǫ r (א) שדהשלקליפהגליליתהוא מחוצהלהואפסבתוכה. לכן, אםנחלקאתהגלילהמלאלהרבהמאדקליפותדקות,אזיקליפהברדיוס r ועובי dr היאבעלתצפיפותמטעןמשטחית ρdr ואםr r < נקבל E = de = ρr dr ǫ r r 0 ρr dr ǫ r השדהבתוךהגלילהואלכן = ρr ǫ מחוצהלואבלבתוךהקליפה E = a 0 ρr dr ǫ r E = ρa +σb ǫ r = ρa ǫ r ומחוץ לקליפה

13 13 r r φ(r) = E(r )dr = (ρa dr +σb) = ρa +σb ln r r r ǫ r ǫ r r b φ(r) = E(r )dr = (ρa dr r dr +σb) r r ǫ r ρa = b ǫ r ρa +σb ln b ρa ln r ǫ r ǫ b = σb ln b ρa ln r ǫ r ǫ r (ב) הפוטנציאל בחוץ: באיזור האמצעי ובאיזור הפנימי φ(r) = σb ln b ρa ln a r ρr dr = σb ln b ρa ln a ρ(r a ) ǫ r ǫ r a ǫ ǫ r ǫ r 4ǫ (ג) אםהפוטנציאלמתאפסבחוץ,בהכרחגםהשדהמתאפסשם,כיהואהגרדיאנטשלהפוטנציאל. תנאילדברהוא ρa +σb = 0 = σ = ρa b

Σχετικά έγγραφα

תרגיל 3 שטף חשמלי ומשפט גאוס

תרגיל 3 שטף חשמלי ומשפט גאוס תרגיל שטף חשמלי ומשפט גאוס הערה: אינטגרלים חיוניים מוצגים בסוף הדף 1. כדור שמסתו.5 g ומטענו 1 6- C תלוי בחוט שאורכו 1 m ונמצא בשדה חשמלי של לוח אינסופי. החוט נפרש בזווית של 1 לכיוון הלוח. מה צפיפות המטען